Eine grafische Darstellung von zweidimensionalen Vektoren ist leicht verständlich, auch eine von dreidimensionalen Vektoren ist mit etwas Vorstellungkraft noch erfassbar. Bei Vektoren höherer Dimension hingegen wird es schwierig.

Im Folgenden sollen anhand von zweidimensionalen Vektoren einige Überlegungen angestellt werden, die auch abstrakt für höherdimensionale Vektoren gelten.

Grafische Darstellung von Vektoren und Rechenoperationen

Der Vektor



kann als ein Pfeil gezeichnet werden, dessen Beginn und Ende in x-Richtung drei Einheiten und in y-Richtung zwei Einheiten auseinander liegen.

Der Pfeil kann an jedem Punkt im Koordinatensystem beginnen und lässt sich beliebig verschieben. Besonders einfach lässt sich ein Pfeil vom Ursprung des Koordinatensystems zeichnen.

Die Addition von zwei Vektoren lässt sich wie folgt zeichnen:

An das Ende des ersten Vektors wird der Anfang des zweiten Vektors angesetzt. Die Gesamtverschiebung ist das Ergebnis der Addition. Da das Kommutativgesetzt gilt, ist es egal, in welcher Reihenfolge die Vektoren gezeichnet werden.

Auch die Multiplikation mit einem Skalar lässt sich grafisch darstellen:

Die Multiplikation mit einem Skalar entspricht dem Verlängern oder Verkürzen des Vektors. Wird mit einer negativen Zahl multipliziert, ändert sich die Richtung des Vektors. Das Ergebnis bleibt aber immer auf einer Geraden, die in Richtung des Vektors verläuft.

Linearkombination

Werden Vektoren a¹,a²,...,aⁿ mit einem Skalar multipliziert und addiert, spricht man von einer Linearkombination.

Durch eine Linearkombination der Vektoren a und b mit den Werten wie in diesem Beispiel gewählt, lässt sich jeder beliebige Vektor c darstellen. Grafisch lässt sich dies wie folgt konstruieren:

Der Vektor a wird am Anfangspunkt von c eingezeichnet. Die Geraden, die in Richtung der Vektoren a und b verlaufen, werden eingezeichnet. Nun wird die zu b gehörende Gerade solange parallel (d.h. ohne die Richtung zu ändern) verschoben, bis sie durch den Endpunkt von c verläuft. Der Vektor a wird bis zu dem Schnittpunkt der beiden Geraden verlängert. Der Vektor b wird nun zwischen dem Schnittpunkt und dem Ende von c eingezeichnet.

Zum Nachrechnen:

Im vorliegenden Beispiel können die λ₁ und λ₂ noch erraten werden, in späteren Kapiteln werden Verfahren zum systematischen Finden vorgestellt.

Aber nicht mit alle Vektoren ist es möglich, durch eine Linearkombination jeden beliebigen Punkt zu erreichen.

Die Geraden verlaufen beide parallel zueinander. Das oben dargestellte Konstruktionsprinzip versagt.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Dies vorausgeschickt, einige Begriffe und Erkenntnisse:
Eine Menge von Vektoren wird als linear unabhängig bezeichnet, wenn sich kein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen, werden diese als linear abhängig bezeichnet.

Weiterhin gelten folgende Feststellungen:

• Im zweidimensionalen Raum kann es nicht mehr als zwei linear unabhängige Vektoren geben.
• Jeder Vektor im zweidimensionalen Raum lässt sich als Linearkombination von zwei unabhängigen Vektoren darstellen.

Um die Überlegung zu verallgemeinern:

• Im m-dimensionalen Vektorraum lassen sich höchstens m unabhängige Vektoren finden.
• Jeder beliebige Vektor des m-dimensionalen Vektorraums lässt sich als Linearkombination von m unabhängigen Vektoren darstellen.

Basis

Eine Menge von m unabhängigen Vektoren wird Basis genannt.

Eine besondere Basis ist die kanonische Basis, sie enthält ausschließlich Einheitsvektoren.