Rechnen mit Matrizen

G2 Matrizen

Rechnen mit Matrizen - Einfache Operationen

Im Folgenden werden die Operationen Transposition, Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar und Multiplikation von zwei Matrizen vorgestellt. Die erstgenannten Operationen sind intuitiv und einfach durchzuführen, die Multiplikation hingegen unterscheidet sich deutlich von der Multiplikation von Zahlen. Daneben gibt es noch die Inversion, bei der die Inverse einer Matrix gebildet wird. Wie die Inverse gebildet wird, wird in einem späteren Abschnitt erklärt.

transponiert

Transposition

Jede Matrix kann transponiert werden. Dabei werden die Komponenten an der Hauptdiagonale und deren gedachter Verlängerung gespiegelt.

Die transponierte Matrix wird mit einem hochgestellten Großbuchstaben T gekennzeichnet. Die Dimension der Matrix ändert sich durch die Transposition, aus einer m×n Matrix wird eine n×m Matrix. Die Werte auf der Hauptdiagonale ändern sich durch die Transposition der Matrix nicht.

Beispiel

Wird eine transponierte Matrix erneut transponiert, ergibt sich wieder die ursprüngliche Matrix:

addiert

Addition

Zwei Matrizen gleicher Dimension können addiert werden. Dazu werden die Komponenten der Matrizen paarweise addiert.

Oder anders ausgedrückt:

c_ij = a_ij+b_ij ∀ i=1...m und j=1...n

Bezüglich der Addition von Matrizen gelten folgende Gesetze:

Kommutativgesetz

Egal ob A zu B oder B zu A addiert wird, es führt zum gleichen Ergebnis. A+B=B+A

Assoziativgesetz

Auch wenn drei Matrizen addiert werden, ist die Reihenfolge, in der die Operationen ausgeführt werden, für das Ergebnis belanglos, ebenso spielen Klammern keine Rolle.

(A+B)+C=A+(B+C)

Subtraktion

Bei der Subtraktion von Matrizen werden die Komponenten paarweise subtrahiert. Auch bei der Subtraktion ist es erforderlich, dass beide Matrizen die gleiche Dimension haben.

Wie auch beim Rechnen mit Zahlen macht es bei der Subtraktion einen Unterschied, ob B von A abgezogen wird, oder B von A, das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten nicht.

Multiplikation mit einem Skalar

Multiplikation mit Skalar

Bei der Multiplikation mit einem Skalar, werden alle Komponenten der Matrix mit dem Skalar multipliziert.

Es gilt das Distributivgesetz:

λ·(A+B)= λ·A+ λ·B

Es führt zum gleichen Ergebnis, wenn

zwei Matrizen addiert werden und dann mit einem Skalar multipliziert werden oder
die erste Matrix mit dem Skalar multipliziert wird, die zweite Matrix mit dem Skalar multipliziert wird und dann die Ergebnisse addiert werden.