G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung eines unterbestimmten Gleichungssystems

Die Feststellung, dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat, ist möglicherweise unbefriedigend. Es stellt sich die Frage, wie man zulässige Lösungen eines unterbestimmten Gleichungssystems ermittelt und wie man sie angibt.

Selbiges ist auch bei anderen LGS von Interesse, die unendlich viele Lösungen haben. Das Erfreuliche: Streicht man die Nullzeilen in diesen LGS, erhält man immer ein unterbestimmtes Gleichungssystem, sodass es ausreichend ist, sich der Problematik anhand von unterbestimmten Gleichungssystemen anzunehmen.

Basisvariablen
Nicht-Basisvariablen
Basislösung
kanonische Form

Basisvariablen und Nicht-Basisvariablen

Betrachtet wird folgendes unterbestimmte Gleichungssystem:

Unterbestimmtes Gleichungssystem Teil 1

Nach Anwendung des Gauß-Algorithmus ergibt sich bei Wahl der Pivotelemente auf der Hauptdiagonalen:

Unterbestimmtes Gleichungssystem Teil 2

Hinweis: Zwischenschritte können bei Interesse mit dem Rechner auf dieser Seite nachvollzogen werden.

Da alle Zeilen markiert sind, ist es nicht möglich, ein weiteres Pivotelement zu wählen. Zwar ist die Diagonalform in den ersten beiden Spalten hergestellt, aber die x3 Spalte ist kein Einheitsvektor. Das Endtableau in Gleichungsschreibweise zurück übersetzt:

x1+5∙x3=18
x2-3∙x3= -6

Um eine konkrete der unendlich vielen Lösungen zu erhalten, kann ein beliebiger Wert für x3 gewählt werden:

Wahl x3=10

x1+5∙10=18 ⇔ x1=-32

x2-3∙10=-6 ⇔ x2=24

Wurde der Wert von x3 gewählt, sind auch die anderen Variablen festgelegt. Prinzip: In einem widerspruchsfreien LGS mit bereits gestrichenen Nullzeilen können n-m Variablen -in Worten: so viele Variablen wie es mehr Spalten als Zeilen gibt- frei gewählt werden, die restlichen ergeben sich dann. Frei gewählt werden können die Variablen, die in Spalten stehen, die nach Anwendung des Gauß-Algorithmus nicht markiert sind.

Ganz einfach ist es, wenn für die frei wählbaren Variablen der Wert null gewählt wird. Die Werte der übrigen Variablen sind dann einfach abzulesen:

Wahl x3=0

x1+5∙0=18 ⇔ x1=18

x2-3∙0=-6

Nochmals ein Blick auf das Endtableau:

Unterbestimmtes Gleichungssystem Teil 3

Die markierten Spalten enthalten einen Einheitsvektor, die zu den jeweiligen Spalten gehörenden Variablen werden Basisvariablen genannt. Die Menge aller Basisvariablen wird auch als Basis bezeichnet. Die übrigen Variablen heißen Nicht-Basisvariablen.

Wird der Wert der Nicht-Basisvariablen gleich null gesetzt, wie im obigen Beispiel, nennt man das Basislösung. Das Tableau enthält am Ende eine Einheitsmatrix, zumindest ist durch Vertauschen von Zeilen und Spalten eine Einheitsmatrix herstellbar. Außerdem gibt es n-m andere Spalten. Die Form wird auch als kanonische Form bezeichnet.

Basislösungen

Welche Zeilen markiert sind und von daher Basisvariablen sind, hängt davon ab, welche Elemente als Pivotelemente gewählt wurden. Für die Wahl von Pivotelementen gibt es aber im Allgemeinen mehrere Möglichkeiten, und je nachdem welche gewählt werden, unterscheidet sich, welche Zeilen am Ende Basisvariablen sind.

Das bekannt Beispiel:

Unterbestimmtes Gleichungssystem Teil 1

Das Endtableau, wenn a12 und a23 als Pivotelemente gewählt wurden.

Unterbestimmtes Gleichungssystem Teil 4

Hinweis: Mit dem Online-Rechner auf dieser Seite können über die Option „Schritt-für-Schritt“ die Pivotelemente für die einzelnen Schritte manuell gewählt werden.

In diesem Fall sind x2 und x3 Basisvariablen und x1 die Nicht-Basisvariable. Es hätten aber auch a11 und a23 als Pivotelemente gewählt werden können, sodass x1 und x3 Basisvariablen sein könnten. Es gibt also nicht nur eine Basislösung, sondern im Allgemeinen viele verschiedene. Jede Auswahl von m linear unabhängigen Spalten ist möglich. Über die Einschränkung von „linear unabhängigen Spalten“ braucht man sich bei Anwendung des Gauß-Algorithmus allerdings keine Gedanken machen, da dieser automatisch sicherstellt, dass diese Bedingung nicht verletzt wird.

Basistausch

Es könnte von Interesse sein, verschiedene Basislösungen zu ermitteln. Durch einen einfachen Basistauschs wird eine Basisvariable zu einer Nicht-Basisvariable und eine bisherige Nicht-Basisvariable zu einer Basisvariablen. Natürlich ist es möglich, für die Ermittlung das LGS von neuem mit unterschiedlichen Pivotelementen zu rechnen. Der Basistausch ist im Allgemeinen aber weniger rechenaufwändig.

Das Vorgehen für einen einfachen Basistausch ist wie folgt:

Gegeben ist die Basis mit den Basisvariablen x1 und x2. Nun soll die Basis mit den Basisvariablen x2 und x3 ermittelt werden. Mit anderen Worten: x1 soll die Basis verlassen und x3 soll aufgenommen werden.

Beispiel fuer Basistausch

Sollen bei einem Basistausch mehrere Variablen getauscht werden, ist notwendig mehrfach einen einfachen Basistausch wie vorstehend beschrieben auszuführen.

zurueck
weiter