G4 Matrizen 2

Rang einer Matrix und Berechnung

Rang einer Matrix

Jeder Matrix wird eine Zahl zugeordnet, der Rang. Der Zeilenrang gibt an, wie viele unabhängige Zeilen in der Matrix vorhanden sind. Der Spaltenrang gibt entsprechend die Anzahl unabhängiger Spalten an. Da Spaltenrang und Zeilenrang immer gleich sind, kann auf eine Unterscheidung verzichtet werden und einfach vom Rang einer Matrix gesprochen werden.

Der Rang der Matrix A wird mit

rg(A)

notiert.

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen war auch beim Lösen von LGS von Interesse. Die Rangberechnung erfolgt, aufgrund der Parallele zu LGS wenig überraschend, ebenfalls mit dem Gauß-Algorithmus.

Beispiel Rangebrechnung

Beispiel Rangberechnung 1

Tableau Ende der Eliminationsphase

Beispiel Rangberechnung 2

Es gibt zwei Nicht-Nullzeilen.

rg(A)=2

Der Rang der Matrix ist 2.

Um die Aussage, dass die Anzahl der linear abhängigen Zeilen und Spalten gleich ist, glaubhaft zu machen folgender Hinweis:

Zeilenrang gleich Spaltenrang

singuläre Matrix
reguläre Matrix

Regularität und Singularität

In Zusammenhang mit quadratischen Matrizen werden die Begriffe reguläre bzw. singuläre Matrix verwendet.

Eine quadratische Matrix, deren Rang der Anzahl der Zeilen entspricht, ist eine reguläre Matrix. Das heißt alle Zeilen der Matrix sind linear unabhängig. Alle Spalten sind ebenfalls unabhängig, da die Matrix quadratisch ist und die Anzahl der unabhängigen Zeilen gleich der der unabhängigen Spalten ist.

Ist der Rang einer quadratischen Matrix geringer als die Anzahl der Zeilen, spricht man von einer singulären Matrix.

A ist eine quadratische Matrix

rg(A)=m → A ist regulär
rg(A)<m → A ist singulär

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