G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Einführung Lineare Gleichungssysteme

Aufbau von linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen:

allgemeine_form_lineares_gleichungssystem

Werden für die Variablen Werte gewählt, sodass alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt sind, sind diese Werte eine Lösung des Gleichungssystems.

Beispiel fuer lineares Gleichungssystem

x1=1; x=2; x3=4 ist eine Lösung des Gleichungssystems, da alle drei Gleichungen erfüllt sind. Was an dieser Stelle noch nicht nachvollziehbar ist: Es ist sogar die einzige Lösung.

Auch für lineare Gleichungssysteme gibt es platzsparende Schreibweisen:

Summenschreibweise lineares Gleichungssystem

Im Vergleich zu der Darstellung einer einzelnen linearen Gleichung wurde ein weiterer Index eingeführt, der zur Unterscheidung der Zeilen dient. Es wird über die Glieder summiert. Die Glieder sind von 1 bis n durchnummeriert, der Index j gibt an, um das wievielte Glied es sich handelt. Die Gleichungen sind mit 1 bis m bezeichnet und mit i indiziert. Die Summe muss einzeln für jede Zeile gebildet werden.

Die Koeffizienten (aij )sind doppelt indiziert. Die Variablen kommen mit einem Index aus, jedes Glied hat eine eigene Variable, aber in den verschiedenen Gleichungen handelt es sich um dieselben Variablen. Das absolute Glied unterscheidet sich schließlich von Zeile zu Zeile und ist deswegen mit i indiziert.

Die Matrixschreibeweise lautet wie folgt:

Matrixschreibweise lineares Gleichungssystem

A ist die Koeffizientenmatrix, x der Variablenvektor und b der Vektor der absoluten Glieder.

Homogene lineare Gleichungssysteme

Bei homogenen linearen Gleichungssystemen sind sämtliche absolute Glieder gleich null.

homogenes lineares Gleichungssystem

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen

Um die Lösung eines Gleichungssystems systematisch aufzufinden, ist es erforderlich Umformungen vorzunehmen. Dabei ist zu beachten, dass sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht ändert. Das bedeutet insbesondere, dass keine neuen Gleichungen hinzugefügt werden dürfen oder Gleichungen weggelassen werden dürfen, da dadurch im Allgemeinen Lösungen wegfallen oder hinzukommen.

Die ursprüngliche Darstellung muss rekonstruierbar sein. D.h. werden die Umformungen rückgängig gemacht, muss wieder eindeutig die ursprüngliche Darstellung herstellbar sein.

Wichtige Äquivalenzumformungen sind:

Auch das Subtrahieren einer einzelnen Gleichung ist zu anderen Gleichungen ist zulässig. Subtrahieren ist nichts anderes, als eine Gleichung mit -1 zu multiplizieren und zu addieren.

Äquivalenzumformungen anhand von Beispielen erklärt

Vertauschen der Reihenfolge von Gleichungen

aequivalenz reihenfolge vertauschen

ist äquivalent zu

aequivalenz reihenfolge vertauschen

Die Reihenfolge der Gleichungen wurde getauscht, die Lösungsmenge wurde nicht verändert. In beiden Fällen ist x1=1; x2 =2 eine Lösung.

Wird die Reihenfolge abermals getauscht, ist die ursprüngliche Darstellung wieder hergestellt.

Multiplizieren von Gleichungen mit einem Skalar

aequivalenz skalar

ist äquivalent zu

aequivalenz skalar

Die erste Gleichung wurde mit 2 multipliziert, die zweite Gleichung mit 3. Auch hier ist x1=1; x2=2 eine Lösung.

Wird die sich ergebenden Gleichungen durch 2 bzw. 3 geteilt, ist der Vorgang rückgängig gemacht.

Addieren einer einzelnen Gleichung des Gleichungssystems zu anderen Gleichungen

Addition aequivalenz

Ist äquivalent zu

Addition aequivalenz_2

Und das wiederum ist äquivalent zu

Addition aequivalenz_3

In jedem Schritt wurde nur eine Gleichung zu der anderen addiert. Die Lösungsmenge wurde nicht verändert und die ursprünglichen Gleichungen sind rekonstruierbar. Wird die zweite Gleichung des letzten Schritts von der ersten abgezogen, ist die letzte Umformung wieder rückgängig gemacht. Folgendes Beispiel zeigt, warum die Betonung darauf liegt, dass immer nur eine einzelne Gleichung zu anderen Gleichungen addiert wird:

Addition aequivalenz_rekonstruieren

Ist nicht äquivalent zu

rekonstruieren 4

Zwar ist in beiden Gleichungssystemen x1=1; x2=2 eine Lösung, aber im zweiten Gleichungssystem ist auch beispielsweise x1=2; x2=3/4 eine Lösung. Es sind somit Lösungen hinzugekommen. Das ursprüngliche Gleichungssystem lässt sich nicht mehr rekonstruieren.

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