Gauß-Algorithmus (Vorbereitung und Idee)

G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Gauß-Algorithmus: Vorbereitung und Idee

Lineare Gleichungssysteme können mit dem Gauß-Algorithmus gelöst werden. Dieser hat gegenüber anderen Lösungsmöglichkeiten große Vorteile: Das Vorgehen ist allgemeingültig, das heißt, es kann auf alle linearen Gleichungssysteme angewendet werden. Hat der Anwender oder die Anwenderin einmal den Algorithmus verinnerlicht, kann er benutzt werden, ohne dass bei jedem Problem neu über das Vorgehen nachgedacht werden muss. Besser noch: Die einfachen Vorgehensregeln können relativ einfach programmiert werden und das relativ stumpfsinnige Abarbeiten dem Rechner überlassen werden.

Der Gauß-Algorithmus liefert nicht nur die Lösung eines linearen Gleichungssystems, mit seiner Hilfe lassen sich weitere Erkenntnisse zu linearen Gleichungssystemen und Matrizen gewinnen. Dieser Abschnitt befasst sich mit der Anwendung zum Auffinden von Lösungen und es wird zunächst davon ausgegangen, dass das Gleichungssystem eine Lösung hat.

Tableau

Vorbereitung: Gleichungen in Tableau eintragen

Der Gauß-Algorithmus wird anhand eines Beispiels eingeführt:

Um nicht in jeden Schritt die Hälfte der Zeit damit zu verbringen, „x“ und „+“ ordentlich untereinander zu schreiben, empfiehlt es sich eine kleine Tabelle, genannt Tableau, anzulegen:

Um welche Variable sich handelt, wird einmal oben in den Tabellenkopf eingetragen, RS steht für Rechte Seite. Die Koeffizienten werden nun in das Tableau eingetragen. Steht in einer Gleichung ein x ohne Koeffizient, wird eine 1 eingetragen. Die„+“-Zeichen werden weggelassen, nur „-„ Zeichen müssen mitgeführt werden.

eliminieren

Idee: Koeffizienten eliminieren, bis das Ergebnis abgelesen werden kann

Der Gauß-Algorithmus wird auch Gauß-Eliminationsverfahren genannt. Die Idee die dahinter steht ist, mit einer Ausnahme sämtliche Koeffizienten in einer Zeile verschwinden zu lassen („zu eliminieren“). Dann ist der Wert einer Variablen einfach abzulesen:

Ausgeschrieben bedeutet die letzte Zeile: x₃=-4, damit ist der Wert einer Variablen bestimmt und ein Teil der Aufgabe gelöst.

Vorgehen beim Elimninieren

Hierfür kommen die im vorangegangen Kapitel vorgestellten Äquivalenzumformungen zum Einsatz. Schritt für Schritt werden durch Addieren einer ausgewählten Zeile zu den anderen Zeilen Nullen erzeugt. Damit beim Addieren eine Null entsteht, ist es meist erforderlich, die ausgewählte Zeile mit einem Skalar zu multiplizieren.

1. Schritt: Ausgangstableau -> Tableau 1

Ziel: In der 1. Spalte unterhalb der 1. Zeile Nullen erzeugen.

Übertragen der 1 Zeile aus dem Ausgangstableau,an dieser Zeile werden keine Umformungen vorgenommen.
In der 2. Zeile, 1. Spalte steht eine 1. Damit durch addieren der 1. Zeile zur 2. Zeile eine Null erzeugt wird, muss die erste Zeile mit -1 multipliziert werden.
In der 3. Zeile, 1. Spalte steht eine 3. Um hier eine Null zu erzeugen, muss die 1. Zeile mit -3 multipliziert werden.

Schritt: Tableau 1-> Tableau 2

Ziel in der 2. Spalte unterhalb der 2. Zeile Nullen erzeugen

Übertragen der 1. Zeile
Übertragen der 2. Zeile
Addieren der 2. Zeile zur 3. Zeile. An dieser Stelle passen die Werte zufällig schon, sodass keine Multiplikation erforderlich ist.

Im Tableau 2 kann der Wert der Variable x₃ fast abgelesen werden, in der letzten Zeile steht ausgeschrieben

wird nun durch ½ geteilt, ergibt sich

Bestimmen der übrigen Variablen

Der Wert der Variablen kann in die zweite Gleichung aus dem letzten Tableau eingesetzt werden:

Nun ist sind zwei Variablen bekannt und können in die erste Gleichung eingesetzt werden:

Substitutionsphase

Bestimmen der übrigen Variablen mit dem Gauß-Algorithmus

Wie vorstehend gezeigt wurde, ist es nicht besonders schwer, die übrigen Variablen zu bestimmen, wenn der Wert einer Variablen abgelesen werden kann. Alternativ können die anderen Variablen in der zweiten Phase des Gauß-Algorithmus, der Substitutionsphase, ermittelt werden. Das ist fast noch einfacher und das Vorgehen ist systematisch.

Ziel der Substitutionsphase ist alle Variablen einfach ablesbar zu machen. Das heißt in jeder Zeile und auch in jeder Spalte darf nur noch ein Wert ungleich null auftreten. Zu diesem Zweck werden auch in der Substitutionsphase wieder Schritt-für-Schritt die Spalten „ausgeräumt“.

Tableau 2-> Tableau 3

Es werden Nullen in der 3. Spalte oberhalb der 3. Zeile erzeugt. Das Vorgehen ist das Gleiche wie in den vorangegangenen Schritten. Da in der 3. Zeile außer in der 3. Spalte nur noch Nullen stehen, müssen nur die 3. Spalte und die Rechte Seite umgerechnet werden.

Tableau 3-> Tableau 4

Im vierten Schritt wird schließlich noch die 2. Zeile mit ½ multipliziert und zur 1. Zeile addiert.

Tableau 4 -> Tableau 4b

Damit die Werte einfach ablesbar sind, wird in den Zeilen durch den jeweiligen Koeffizienten geteilt.