G4 Matrizen 2
Rang einer Matrix und Berechnung
Rang einer Matrix
Jeder Matrix wird eine Zahl zugeordnet, der Rang. Der Zeilenrang gibt an, wie viele unabhängige Zeilen in der Matrix vorhanden sind. Der Spaltenrang gibt entsprechend die Anzahl unabhängiger Spalten an. Da Spaltenrang und Zeilenrang immer gleich sind, kann auf eine Unterscheidung verzichtet werden und einfach vom Rang einer Matrix gesprochen werden.
Der Rang der Matrix A wird mit
rg(A)
notiert.
Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen war auch beim Lösen von LGS von Interesse. Die Rangberechnung erfolgt, aufgrund der Parallele zu LGS wenig überraschend, ebenfalls mit dem Gauß-Algorithmus.
- Die rechte Seite kann weggelassen werden, ansonsten wird der Gauß-Algorithmus wie zum Lösen von LGS angewendet.
- Am Ende der Eliminationsphase wird abgebrochen und die Nicht-Nullzeilen werden gezählt.
- Der Rang entspricht der Anzahl der Nicht-Nullzeilen.
Beispiel Rangebrechnung
Tableau Ende der Eliminationsphase
Es gibt zwei Nicht-Nullzeilen.
rg(A)=2
Der Rang der Matrix ist 2.
Um die Aussage, dass die Anzahl der linear abhängigen Zeilen und Spalten gleich ist, glaubhaft zu machen folgender Hinweis:
- Die 3. Zeile ist die Summe aus erster und zweiter Spalte.
- Die 3. Spalte ist das Fünffache der zweiten Spalte.
Regularität und Singularität
In Zusammenhang mit quadratischen Matrizen werden die Begriffe reguläre bzw. singuläre Matrix verwendet.
Eine quadratische Matrix, deren Rang der Anzahl der Zeilen entspricht, ist eine reguläre Matrix. Das heißt alle Zeilen der Matrix sind linear unabhängig. Alle Spalten sind ebenfalls unabhängig, da die Matrix quadratisch ist und die Anzahl der unabhängigen Zeilen gleich der der unabhängigen Spalten ist.
Ist der Rang einer quadratischen Matrix geringer als die Anzahl der Zeilen, spricht man von einer singulären Matrix.
rg(A)=m → A ist regulär
rg(A)<m → A ist singulär
