G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Einführung Lineare Gleichungssysteme
Aufbau von linearen Gleichungssystemen
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen:
Werden für die Variablen Werte gewählt, sodass alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt sind, sind diese Werte eine Lösung des Gleichungssystems.
x1=1; x
Auch für lineare Gleichungssysteme gibt es platzsparende Schreibweisen:
Im Vergleich zu der Darstellung einer einzelnen linearen Gleichung wurde ein weiterer Index eingeführt, der zur Unterscheidung der Zeilen dient. Es wird über die Glieder summiert. Die Glieder sind von 1 bis n durchnummeriert, der Index j gibt an, um das wievielte Glied es sich handelt. Die Gleichungen sind mit 1 bis m bezeichnet und mit i indiziert. Die Summe muss einzeln für jede Zeile gebildet werden.
Die Koeffizienten (aij )sind doppelt indiziert. Die Variablen kommen mit einem Index aus, jedes Glied hat eine eigene Variable, aber in den verschiedenen Gleichungen handelt es sich um dieselben Variablen. Das absolute Glied unterscheidet sich schließlich von Zeile zu Zeile und ist deswegen mit i indiziert.
Die Matrixschreibeweise lautet wie folgt:
A ist die Koeffizientenmatrix, x der Variablenvektor und b der Vektor der absoluten Glieder.
Homogene lineare Gleichungssysteme
Bei homogenen linearen Gleichungssystemen sind sämtliche absolute Glieder gleich null.
Äquivalenzumformungen
Um die Lösung eines Gleichungssystems systematisch aufzufinden, ist es erforderlich Umformungen vorzunehmen. Dabei ist zu beachten, dass sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht ändert. Das bedeutet insbesondere, dass keine neuen Gleichungen hinzugefügt werden dürfen oder Gleichungen weggelassen werden dürfen, da dadurch im Allgemeinen Lösungen wegfallen oder hinzukommen.
Die ursprüngliche Darstellung muss rekonstruierbar sein. D.h. werden die Umformungen rückgängig gemacht, muss wieder eindeutig die ursprüngliche Darstellung herstellbar sein.Wichtige Äquivalenzumformungen sind:
- Das Vertauschen der Reihenfolge von Gleichungen
- Das Multiplizieren von Gleichungen mit einem Skalar der ungleich null ist.
- Da Addieren einer einzelnen Gleichung des Gleichungssystems zu anderen Gleichungen. Die Gleichung, die zu einer anderen addiert wird, muss dabei erhalten bleiben.
Auch das Subtrahieren einer einzelnen Gleichung ist zu anderen Gleichungen ist zulässig. Subtrahieren ist nichts anderes, als eine Gleichung mit -1 zu multiplizieren und zu addieren.
Äquivalenzumformungen anhand von Beispielen erklärt
Vertauschen der Reihenfolge von Gleichungen
ist äquivalent zu
Die Reihenfolge der Gleichungen wurde getauscht, die Lösungsmenge wurde nicht verändert. In beiden Fällen ist x1=1; x2 =2 eine Lösung.
Wird die Reihenfolge abermals getauscht, ist die ursprüngliche Darstellung wieder hergestellt.
Multiplizieren von Gleichungen mit einem Skalar
ist äquivalent zu
Die erste Gleichung wurde mit 2 multipliziert, die zweite Gleichung mit 3. Auch hier ist x1=1; x2=2 eine Lösung.
Wird die sich ergebenden Gleichungen durch 2 bzw. 3 geteilt, ist der Vorgang rückgängig gemacht.
Addieren einer einzelnen Gleichung des Gleichungssystems zu anderen Gleichungen
Ist äquivalent zu
Und das wiederum ist äquivalent zu
In jedem Schritt wurde nur eine Gleichung zu der anderen addiert. Die Lösungsmenge wurde nicht verändert und die ursprünglichen Gleichungen sind rekonstruierbar. Wird die zweite Gleichung des letzten Schritts von der ersten abgezogen, ist die letzte Umformung wieder rückgängig gemacht. Folgendes Beispiel zeigt, warum die Betonung darauf liegt, dass immer nur eine einzelne Gleichung zu anderen Gleichungen addiert wird:
Ist nicht äquivalent zu
Zwar ist in beiden Gleichungssystemen x1=1; x2=2 eine Lösung, aber im zweiten Gleichungssystem ist auch beispielsweise x1=2; x2=3/4 eine Lösung. Es sind somit Lösungen hinzugekommen. Das ursprüngliche Gleichungssystem lässt sich nicht mehr rekonstruieren.
