G1 Vektoren

Überlegungen anhand grafisch dargestellter Vektoren

Eine grafische Darstellung von zweidimensionalen Vektoren ist leicht verständlich, auch eine von dreidimensionalen Vektoren ist mit etwas Vorstellungkraft noch erfassbar. Bei Vektoren höherer Dimension hingegen wird es schwierig.

Im Folgenden sollen anhand von zweidimensionalen Vektoren einige Überlegungen angestellt werden, die auch abstrakt für höherdimensionale Vektoren gelten.

Grafische Darstellung von Vektoren und Rechenoperationen

Der Vektor



kann als ein Pfeil gezeichnet werden, dessen Beginn und Ende in x-Richtung drei Einheiten und in y-Richtung zwei Einheiten auseinander liegen.

Vektor in Koordinatensystem

Der Pfeil kann an jedem Punkt im Koordinatensystem beginnen und lässt sich beliebig verschieben. Besonders einfach lässt sich ein Pfeil vom Ursprung des Koordinatensystems zeichnen.

Die Addition von zwei Vektoren lässt sich wie folgt zeichnen:

Vektoren a und b

Zeichnung Vektoraddition

An das Ende des ersten Vektors wird der Anfang des zweiten Vektors angesetzt. Die Gesamtverschiebung ist das Ergebnis der Addition. Da das Kommutativgesetzt gilt, ist es egal, in welcher Reihenfolge die Vektoren gezeichnet werden.

Auch die Multiplikation mit einem Skalar lässt sich grafisch darstellen:

Zeichnung Vektor Multiplikation

Die Multiplikation mit einem Skalar entspricht dem Verlängern oder Verkürzen des Vektors. Wird mit einer negativen Zahl multipliziert, ändert sich die Richtung des Vektors. Das Ergebnis bleibt aber immer auf einer Geraden, die in Richtung des Vektors verläuft.

Linearkombination

Linearkombination

Werden Vektoren a1,a2,...,an mit einem Skalar multipliziert und addiert, spricht man von einer Linearkombination.

Linearkombination

Durch eine Linearkombination der Vektoren a und b mit den Werten wie in diesem Beispiel gewählt, lässt sich jeder beliebige Vektor c darstellen. Grafisch lässt sich dies wie folgt konstruieren:

Linearkombination

Der Vektor a wird am Anfangspunkt von c eingezeichnet. Die Geraden, die in Richtung der Vektoren a und b verlaufen, werden eingezeichnet. Nun wird die zu b gehörende Gerade solange parallel (d.h. ohne die Richtung zu ändern) verschoben, bis sie durch den Endpunkt von c verläuft. Der Vektor a wird bis zu dem Schnittpunkt der beiden Geraden verlängert. Der Vektor b wird nun zwischen dem Schnittpunkt und dem Ende von c eingezeichnet.

Zum Nachrechnen:

Linearkombination

Im vorliegenden Beispiel können die λ1 und λ2 noch erraten werden, in späteren Kapiteln werden Verfahren zum systematischen Finden vorgestellt.

Aber nicht mit alle Vektoren ist es möglich, durch eine Linearkombination jeden beliebigen Punkt zu erreichen.

Die Geraden verlaufen beide parallel zueinander. Das oben dargestellte Konstruktionsprinzip versagt.

linear unabhängig
linear abhängig

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Dies vorausgeschickt, einige Begriffe und Erkenntnisse:
Eine Menge von Vektoren wird als linear unabhängig bezeichnet, wenn sich kein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen, werden diese als linear abhängig bezeichnet.

Beispiel:


sind unabhängig.

,
sind abhängig, wie in der Zeichnung oben gezeigt wurde, gibt es eine Linearkombination von a und b durch die c dargestellt werden kann.


sind abhängig, sie verlaufen beide in die gleiche Richtung.

Abhaengige_Vektoren

Die Komponenten von d sind das Doppelte der von a, d.h. die Linearkombination lautet
.

Weiterhin gelten folgende Feststellungen:

Um die Überlegung zu verallgemeinern:

Basis

Eine Menge von m unabhängigen Vektoren wird Basis genannt.

Die Vektoren

Beispiel_fuer_eine_Basis

bilden eine Basis von R2

kanonische Basis

Eine besondere Basis ist die kanonische Basis, sie enthält ausschließlich Einheitsvektoren.

Die Vektoren

Beispiel_kanonische_basis

bilden die kanonische Basis von R2

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