Für das Rechnen mit Vektoren wurden einige Operationen definiert:

Die Addition

Zwei Vektoren können formal dann addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension besitzen. Bei anwendungsbezogenen Fragestellungen muss zudem darauf geachtet werden, dass die Addition inhaltlich sinnvoll ist.

Vektoren werden addiert, in dem jeweils die Komponenten an gleicher Stelle miteinander addiert werden.

Für die Prüfung der inhaltlichen Sinnhaftigkeit hilft oft auch ein Blick auf die Einheiten der zu addierenden Komponenten. Stimmen diese nicht überein, ist die Addition inhaltlich unzulässig.

Rechenregeln für die Addition

Kommutativgesetz

Es beeinflusst das Ergebnis nicht, welcher Vektor links vom Pluszeichen steht und welcher rechts steht.

a+b=b+a

Assoziativgesetz

Werden mehrere Vektoren addiert, ist es das Gleiche, wenn die Summe der ersten beiden Vektoren gebildet wird und anschließen der Dritte addiert wird oder wenn der erste Vektor zu der schon gebildeten Summe von zweiten und dritten Vektor addiert wird.

(a+b)+c=a+(b+c)

Nullvektor

Der Nullvektor ist das neutrale Element. Werden ein Vektor a und der Nullvektor addiert, ist das Ergebnis wieder der Vektor a.

a+ 0=a

Subtraktion

Bei der Subtraktion wird komponentenweise subtrahiert. Die Anforderungen für formale und inhaltliche Zulässigkeit sind gleich wie bei der Addition. Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz hingegen gelten nicht. Ob b von a subtrahiert wird, oder a von b macht einen Unterschied!

Multiplikation mit Skalar

Vektoren können mit einzelnen Zahlen multipliziert werden. In Abgrenzung zu den in einem Vektor zusammengefassten Zahlen nennt man eine einzelne Zahl Skalar. Skalare werden dünn gedruckt und häufig mit griechischen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel mit Lambda (λ)

Bei der Multiplikation mit einem Skalar wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.