G2 Matrizen

Multiplikation von zwei Matrizen

Die Multiplikation von Matrizen ist ein wenig gewöhnungsbedürftig. Als Voraussetzung für die Durchführbarkeit der Multiplikation muss die Anzahl der Spalten der linksstehenden Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der rechtsstehenden Matrix sein.

Summenschreibweise der Matrixmultiplikation

Die sich ergebende Matrix hat so viele Zeilen wie die rechte Matrix und so viele Spalten wie die linke Matrix.

Vorgehen

Die Komponenten der Ergebnismatrix berechnen sich wie folgt:

Es soll die Komponente in der i-ten Zeile und k-ten Spalte der Ergebnismatrix berechnet werden. Es werden die Komponenten, die sich in A in der Zeile i-ten Zeile befinden und die sich in der k-ten Spalte von B befinden der Reihe nach durchgegangen.

Die Komponente in der ersten Spalte von A wird mit dem in der ersten Zeile von B multipliziert. Das in der zweiten Spalte von A mit dem in der zweiten Zeile von B und so weiter.

Die Ergebnisse werden aufsummiert.

Grafik Matrixmultiplikation

Dieser Vorgang wird nun für jede Komponente der Ergebnismatrix wiederholt.

Diese Berechnungsvorschrift lässt sich auch wie folgt notieren:

Summenschreibweise Matrixmultiplikation

Beispiel:

Die Matrizen A und B sollen miteinander multipliziert werden.

beispiel_matrixmultiplikation

Die Komponenten einzeln berechnet:

ausfuehrliche_Rechnung

Die Ergebnisse in der Matrix C zusammengefasst:

Ergebnismatrix

Aufwand

Aufwand

Spätestens durch das Beispiel wird klar, dass das Durchführen von Matrizenmultiplikation eine bei Handrechnung aufwändige Angelegenheit ist, die bei praktischen Anwendungsfällen mit großen Matrizen und weniger menschenfreundlichen Zahlen besser einem Rechner überlassen wird.

Der Aufwand eine m×n Matrix mit einer n×p Matrix zu multiplizieren, berechnet sich wie folgt:

Soll also eine 15×11 Matrix mit einer 11×17 Matrix multipliziert werden, sind 2.805 Multiplikationen und Additionen erforderlich, eine schöne Beschäftigung für lange Winterabende! Allgemein betrachtet gilt, dass mit zunehmender Größe der Aufwand mit der dritten Potenz steigt. Enthält eine Matrix viele Nullen wird das Ganze etwas einfacher.

Assoziativgesetz
Distributivgesetz

Rechenregeln

Für die Matrizenmultiplikation gelten das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Vorsicht: Das Kommutativgesetz gilt nicht! Welche Matrix auf der linken Seite des Multiplikationszeichens und welche auf der rechten steht spielt eine Rolle.

Es gilt das Assoziativgesetz.

(AB)∙C= A∙(BC)

D.h. es ist unerheblich
- ob erst A mit B multipliziert wird und das Ergebnis dann mit C
oder
- A mit dem Ergebnis der Multiplikation von B mit C.

Wenn mit Zwischenergebnissen gearbeitet wird, ist es unerheblich, in welcher Reihenfolge die Matrizen multipliziert werden, solange nur benachbarte Matrizen miteinander multipliziert werden, eine Matrix die rechts von einer anderen ist rechts bleibt, und das Zwischenergebnis an der richtigen Stelle eingefügt wird.

Beispiel

Es sollen vier Matrizen miteinander multipliziert werden, und zwar in folgender Reihenfolge: ABCD

Moegliche und verbotene Reihenfolgen

Es gilt das Distributivgesetz:

(A+B)∙C= AC+BC

Soll die Summe zweier Matrizen mit einer dritten Matrix multipliziert werden, kann auch die erste Matrix mit der dritten multipliziert werden und die zweite mit der dritten multipliziert werden und dann die Summe gebildet werden.

Auch hier wieder wichtig: Was links vom Multiplikationszeichen steht bleibt links, was rechts steht rechts.

Weitere Rechenregel

Statt zwei Matrizen zu multiplizieren und dann zu transponieren, kann auch die Reihenfolge getauscht werden, die einzelnen Matrizen transponiert und erst dann multipliziert werden.

(A·B)T=BT·AT

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