G3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Gauß-Algorithmus: Tipps und Tricks

An dieser Stelle nun noch ein paar Tipps und Tricks für die Handrechnung. Es wird gezeigt, wie man sich die Umrechnungsregeln leichter merken kann und anhand eines Beispiels wird die geschickte Wahl von Pivotelementen erörtert. Auf die Herausforderungen für Rechner werden am Ende noch kurz erörtert.

Zickzack-Trick

Zickzack-Trick: Umrechnungsregeln einfach merken

Ein Trick um sich die Rechenanweisung

zickzacktrick

zu merken, ist die beteiligten Elemente grafisch zu kennzeichnen.

zickzacktrick

Wichtig ist, dass das Zickzack immer vom umzurechnenden Element zum Pivotelement abgearbeitet wird. Das kann von unten-nach-oben, von oben-nach-unten von links-nach-rechts oder von recht-nach-links bedeuten, je nachdem wo sich umzurechnendes Element und Pivotelement befinden.

Normierte Zeile nutzen

Bei der Normierung der Pivotzeile wird wie folgt gerechnet:

Umrechnung beim Normieren

Das ist ein Teilschritt, der auch bei der Berechnung der übrigen Elemente durchgeführt wird.

Im Tableau sind die an der Umrechnung beteiligten Elemente eingezeichnet:

Wurde die Pivotzeile normiert, kann also Arbeit bei der Berechnung der weiteren Elemente gespart werden, dem gegenüber steht der Aufwand für das Normieren der Pivotzeile.

Wahl von Pivotelementen

Auch durch die geschickte Wahl von Pivotelementen kann bei der Handrechnung einiges an Arbeit gespart werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Der Rechner auf dieser Seite verfügt über eine Option „Schritt-für-Schritt“. Ist diese eingestellt, können die Pivotelemente per Hand gewählt werden, sodass sich eigene Handrechnungen nachprüfen lassen.

Ausgangstableau

Gauss-Algo Bsp 3 Ausgangstableau

Tableau 1

Gauss-Algo Bsp 3 Tableau_1

Tableau 2

Gauss-Algo Bsp 3 Tableau_2

Tableau 3

Gauss-Algo Bsp 3 Tableau_3

Tableau 1 -> Tableau 2

Es ist natürlich erlaubt a22=4 als Pivotelement zu wählen. Dann werden aber die in der 3. Spalte zufällig vorhanden Nullen zerstört. Wird hingegen a23=2,5 gewählt, ist wenig zu rechnen, um das dritte Tableau auszufüllen.

Tableau 2 -> Tableau 3

Die Umrechnung der Pivotzeile entfällt und die Zahlen werden etwas menschenfreundlicher, wenn a44=1 als Pivotelement gewählt wird.

Auf das Vorrechnen der Substitutionsphase wird verzichtet. Das Endergebnis lautet:
x1=1; x2=1/2; x3=1; x4=-2;

Rechner und Gauß-Algorithmus

Im Allgemeinen gelten bei der Wahl von Pivotelementen durch Rechner andere Kriterien. Zum Beispiel ist der Aspekt der Numerischen Stabilität wichtig. Da ein Rechner nicht mit Brüchen rechnet, entstehen Rundungsfehler. Es besteht die Gefahr, dass ein Element das eigentlich null ist, durch einen Rundungsfehler als betragsmäßig sehr kleine Zahl ungleich null erscheint und fataler Weise als Pivotelement gewählt wird. Ein Rechner könnte deswegen so programmiert sein, dass er immer das betragsmäßig größte Element aus den potenziellen Pivotelementen auswählt.

Handrechnung

Beispiel Handrechnung

Rechner

1/3 → 0,33 1-3·0,33=0,01

Mehr Dezimalstellen führen zu geringeren Rundungsfehlern, lösen das Problem aber nicht grundsätzlich.

Variante: Vollständige Elimination (auch Gauß-Jordan-Algorithmus)

Neben der teilweisen Elimination und Substitution gibt es auch eine Variante des Gauß-Algorithmus, bei dem es nur eine Phase gibt, an deren Ende das Ergebnis direkt abgelesen werden kann. Insgesamt gibt es weniger Tableaus, aber das Berechnen der einzelnen Tableaus ist aufwändiger.

Der einzige Unterschied ist, dass auch die Elemente in bereits markierten Zeilen umgerechnet werden. Zum Ausprobieren: Der Rechner auf dieser Seite verfügt über eine entsprechende Option. Diese Variante ist auch unter der Bezeichnung Gauß-Jordan-Algorithmus bekannt.

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