Anhand des vorherigen Beispiels wurde die Idee des Gauß-Algorithmus vorgestellt. In diesem Beispiel werden nun Begriffe wie Pivotelement, -zeile, und –spalte eingeführt, die Auswahlregeln beim Gauß-Algorithmus erklärt und die Normierung der Pivotzeile wird gezeigt. Vorab noch eine Erläuterung zur Dreiecksform.

Dreiecksform- Explizite und implizite Dreiecksform

Es gibt verschiedene Varianten des Gauß-Algorithmus, die hier vorgestellte ist die Sukzessive Elimination und Substitution. Das bedeutet, dass zunächst in der Eliminationsphase im Tableau eine Dreiecksform hergestellt wird, sodass eine Variable abgelesen werden kann. Die Dreiecksform kann implizit oder explizit hergestellt werden.

Tableau in expliziter Dreiecksform

Diese Struktur nennt man explizite Dreiecksform, da das Dreieck deutlich sichtbar ist. Allerdings ist es nicht notwendig, dass diese Form vorliegt. Es reicht, wenn sie durch das Vertauschen von Zeilen hergestellt werden kann. Das Vertauschen von Zeilen ist eine Äquivalenzumformung:

Tableau in impliziter Dreiecksform

Das vorstehende Tableau ist in impliziter Dreiecksform. Das bedeutet, dass die explizite Dreiecksform durch Vertauschen von Zeilen und Spalten hergestellt werden kann:

Beispiel mit Erklärung- Eliminationsphase

Ausgangstableau

Tableau 1

Tableau 2

Tableau 3

Ausgangstableau → Tableau 1

Ein Vielfaches der ersten Zeile soll so zu den anderen addiert werden, dass in der ersten Spalte Nullen entstehen. Die Zeile die addiert wird, nennt man auch Pivotzeile. Die Spalte die „ausgeräumt“ werden soll, nennt man Pivotspalte. Der Koeffizient der in Pivotzeile und Pivotspalte steht, heißt Pivotelement.

In Tableau 1 kann die Pivotzeile entweder aus dem vorherigen Tableau einfach abgeschrieben werden oder sie kann normiert werden. Normieren bedeutet, dass die gesamte Pivotzeile durch das Pivotelement geteilt wird. Das hat zur Folge, dass im neuen Tableau das alte Pivotelement immer eins ist. Manche Menschen sehen bei der Handrechnung das Aufschreiben der normierten Pivotzeile als hilfreich an, mehr dazu im nächsten Beispiel, andere hingegen betrachten es als unnötige Arbeit für Kopf und Rechner.

Tableau 1 → Tableau 2

Spätestens jetzt ist es an der Zeit, sich mit den Auswahlregeln zu befassen. Bisher wurde das Pivotelement immer auf der Hauptdiagonalen gewählt. Das ist aber nicht notwendig und auch nicht immer möglich. Folgende Regeln sind zu beachten:

• Das Pivotelement ist nicht null.
  Bei der Berechnung der anderen Elemente wird immer eine Division durch das Pivotelement durchgeführt. Durch null teilen ist bekanntlich nicht zulässig.
• Die Pivotzeile war noch nicht Pivotzeile.
  Mehrfach eine Zeile als Pivotzeile auszuwählen führt nicht zum Ziel, da so mühsam erzeugte Nullen wieder zerstört werden.
• Die Pivotspalte war noch nicht Pivotspalte.
  Diese Bedingung ist redundant zu der Forderung, keine Nullen zu wählen. Trotzdem ist es sinnvoll im Auge zu behalten, welche Spalten schon als Pivotspalte verwendet wurden.

Um zu vermeiden, dass mehrfach Zeilen oder Spalten ausgewählt werden, ist es zweckmäßig, eine Markierung an Zeilen und Spalten anzubringen. Diese Zeilen und Spalten werden dann auch als gesperrt bezeichnet.

Im vorliegenden Fall kann also das Element a₂₂ nicht gewählt werden. Aber es kann zum Beispiel a₃₂=2 gewählt werden.

Tableau 3

In Tableau 3 ist die implizite Dreiecksform hergestellt. Alle Zeilen und Spalten außer einer sind gesperrt. In Tableau 3 ist der Wert von x4 durch die einfach Umrechnung 2·x₄=2 ⇔ x₄ =1 zu ermitteln.

Bestimmen der übrigen Variablen:

Die Variablen können nun mit einer freien Vorgehensweise bestimmt werden. Aber auch die systematische Bestimmung unter Anwendung der zweiten Phase des Gauss-Algorithmus ist möglich.

Substitutionsphase

Zu Beginn noch einmal Tableau 3 mit normierter 4. Zeile. Die Sperrungen der Zeilen und Spalten sind aufgehoben.

Tableau 3b

Tableau 4

Tableau 5

Tableau 6

x₁=4; x₂=-1; x₃=3; x₄=4

Tableau 3→4

Ausgehend von dem isolierten Element werden nun die noch besetzten Zeilen ausgeräumt. Das Vorgehen bei der Umrechnung ist dasselbe wie in der Eliminationsphase, allerdings ist der Aufwand geringer, da in der Pivotzeile mit einer Ausnahme nur Nullen stehen.

Tableau 4→5

Es werden die Pivotelemente aus der Eliminationsphase in umgekehrter Reihenfolge gewählt. Eine andere Reihenfolge ist aber auch kein Problem, wenn sichergestellt ist, dass jedes Pivotelement aus der Eliminationsphase noch einmal gewählt wird.

Tableau 6:

Die Werte der Variablen können in Tableau 6 bequem abgelesen werden, da in jeder Zeile und Spalte nur ein Koeffizient ungleich null ist. Falls auf das Normieren in den vorangegangen Schritten verzichtet wurde, reicht eine einfach Division um den Wert zu ermitteln.

Ablesen der Werte:

Da die Reihenfolge der Pivotelemente getauscht wurde, müssen die die Ergebnisse auf der Rechten Seite den Variablen zugeordnet werden.

Vorgehen: In der zur abzulesenden Variablen gehörenden Spalte die Zeile mit der Eins suchen, in dieser Zeile steht auf der Rechten Seite der Wert der Variablen.